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학생들을 위한 수학컬럼입니다.

이해를 돕기 위해 부분적으로 게임 용어를 사용하였습니다.

 

 

 

수능 수리영역은 크게 두 가지 관점에서 접근할 수 있습니다.
그것은 내용영역적으로 접근하는 방식이 있고, 행동영역적으로 접근하는 방식이 있습니다.
이 둘을 이해하고 해결책을 찾는 것은 점수를 올리는 가장 좋은 방법이 될 수 있습니다.



내용 영역이란,

수리 영역의 각각의 개념을 뜻합니다.
내용영역적으로 접근한다는 것은, 단원별 접근을 뜻합니다.

즉, 행렬, 지수로그, 등등 과 같은 방식입니다.
내용영역은 게임으로 비유하면 장비, 아이템 정도로 비유할 수 있습니다.
무기가 없으면 공격할 수 없듯,

내용영역을 갖추지 못하면(단원별로 개념을 숙지하지 못하면) 수학 문제 자체를 풀 수 없습니다.

 

 

 

행동 영역이란,

수학적 사고력의 세분화입니다.
수능에서의 행동영역은 다시 세분화해서 계산 능력, 이해 능력, 추론 능력, 문제 해결 능력으로

세분화할 수 있는데, 게임으로 비유하면, 스탯으로 비유할 수 있습니다.
아무리 좋은 장비를 갖추고 있더라도, 본인 스탯이 낮으면 무용지물입니다.
물론, 반대로 스탯이 높다고 해도 장비가 없으면 사용 자체가 불가능하겠지요.
즉, 본인이 아무리 지식적인 측면이 강하더라도, 사고력이 부족하면 "절대로 수능을 잘볼 수 없고",
사고력을 아무리 키워도 배운 내용을 잊어버리면 이 또한

역시 절대로 수능을 잘 볼 수 없는 일이 일어납니다.

먼저,

 

내용영역적인 관점에서의 수리영역을 분석해보면,
수리영역에 있어서 출제될 개념은 정해져 있습니다.
본인이 갖고 있는 장비는 한세트이면 충분합니다. 본인이 갖춰야 할 장비를 다 갖췄다면,
더이상 다른 장비를 자유시장에서 구하지 말고,

몬스터 사냥을 더 해서 본인 스탯을 높히는 것이 중요합니다.
즉, 교과서에 있는 내용이면 수능 100점을 받는 데에 전혀 문제가 없습니다.
교과서만 공부하면 100점이다를 말하려는게 아니고, 교과서에 있는 개념만 확실하게 알고있으면,

더이상의 추가적인 지식, 심화 개념 공부를 할 필요가 없다는 것입니다.
하나만 덧붙이자면,
추가 장비를 구하는 방식이 "사냥을 통해서 득템하는 것"이라면, 

그건 결국  본인 스탯을 키우는 데에 도움이 되기 때문에,(레벨업)
추가적인 개념 학습을 수학을 너무 사랑해서 꼭 하고싶다면, "사냥을 통해서", 즉

본인이 스스로 발견하고 증명하는 과정에서 생겨나야 합니다.
장비를 갖췄다면, 이제는 스탯을 올리는데에 열중해야 본인의 데미지가 강해집니다.

 

 

각 행동영역적인 관점에서 수리영역을 분석해 보도록 합시다.

1. 계산 능력
수리영역 학습의 기본은 계산입니다.
여러분은 수능날까지 꾸준히 복잡한 계산도 해결할 수 있는 연습을 하셔야 합니다.
수능은 모든 문제가 깔끔하게만 나오는 것이 아니고, 계산의 어려움을 겪게 되는 문항들도 많이 나오며,
일부 문항을 깔끔하게 해결할 수 없을 때에는

차선책으로 계산을 할 때 해결할 수 있는 문항들도 많습니다.
몬스터를 죽일 때, "빨리 죽이기 위해선" 공격속도가 빨라야 하는데, 계산 능력이 곧 공격속도 입니다. 
수능은 30마리의 몬스터를 100분 안에 잡는 것을 요구합니다.
계산이 복잡한 문제를 만났을 때 그걸 풀지 않고 자꾸 피하려 든다면,

계산 스탯은 절대로 올릴 수 없습니다.
계산능력을 키우고 싶으면,

정석 연습문제나 ssen의 c단계, 수학 익힘책 등 다양한 문제집들이 여러분들을 기다리고 있습니다.
본인의 부족한 스탯이 있으면, 자꾸 피하지 말고 주저말고 키우세요.

  

위와 같은 문항은 계산능력으로 분류되는 문항은 아니지만,
계산 능력을 갖추어야만 어렵지 않게 해결할 수 있습니다.

2. 이해 능력
이해 능력이란, 본인이 갖고 있는 장비를 얼마나 강력하게 활용할 수 있는지,

그 능력을 묻는 문항입니다.
게임으로 비유하면, 본인의 갖고 있는 무기의 데미지를 결정하는 str의 역할을 합니다.
평가원에서 밝히기를, 이해능력이란,
수학의 개념/원리/법칙/용어의 이해능력을 말합니다.
이해 능력을 키우기 위해선, 말 그대로 교과서의 내용을 암기가 아닌 이해해야 합니다.
개념의 이해는 다음과 같은 의문을 해결하는 과정에서 진행됩니다.

① 왜 이 개념을 배워야 하는가? 혹은 실생활에서 어떻게 찾을 수 있는가?
② 이 개념의 가장 대표적인 예는 무엇인가?
③ 이 개념을 일반화하는 방법은 무엇인가?
④ 일반화한 내용을 다시 적용할 수 있는가?

교과서에서는, 1번부터 4번까지의 과정이 완벽하게 진행될 수 있도록

왜 이 개념을 배워야 하는지에 대한  설명과 예가 잘 되어 있습니다.
이 개념을 일반화하는 방법, 즉 명제에 대한 증명 또는 정의가 되어 있고, 그 내용을 적용할 수 있도록
예제와 유제, 연습문제로 구성되어 있습니다.
이것은 정석도 마찬가지입니다. 각 단원별로 정석의 서두를 보면

이를테면 으로, 각 단원에서 알아야 할 내용을

"대표적인 예나 왜 이 개념을 배워야 하는가"에 대한 내용으로 시작합니다.

즉, "이해"란

수학 공식이나 증명에서 오는 것이 아니고, 가장 대표적인 예를 통해 하게 되는데,

그러한 이해를 돕는 가장 강력한 도구가

바로 "실생활 또는 이 개념의 가장 대표적인 예" 입니다.

연립방정식? 하면 뭐가 떠오르시나요?
미지수가 두개인 연립방정식? 이렇게 이해하기보다는,
"음 예를 들면 2x-y=3, 3x-2y=5와 같은 방정식의 해를 구하는 것"
이렇게 떠오르면 훨씬 분명할 것입니다. 바로 이것이 "이해를 했다"는 뜻입니다. 

증명이 선행되기 전, 반드시 개념에 대한 이러한 "이해"를 해야 합니다. 그리고,

 이렇게 이해한 것을 직관적으로 넘어가면 안 되고, "일반화"를 해야 합니다.
즉, 내가 생각한 대표적인 예를 공식화할 수 있는가? 그렇다면 그 공식화는 어떻게 증명하는가?에

대한 과정을 완벽하게 해야 합니다. 그리고

그렇게 일반화를 마쳤으면,

문제를 풀면서 이해한 개념과 일반화한 내용을 적용할 수 있어야 합니다.

여러분들이 서점에서 "개념서"를 고를 때에는,

(물론 고3들에게는 해당 안되고, 고1 고2에게 해당되는 이야기지만)
이와 같이 "대표적인 예가 각 단원의 서두에 서술되어 있는가?", 그리고

"이러한 내용들이 모두 일반화되어 있는가?",
"내가 이해한 개념을 적용할 수 있는 문제의 수가 충분한가?"에 대한 세 가지의 잣대로

개념서를 골라야 합니다.

이해능력을 키우기 위해선 어떻게 해야 하는가?
그것은 각 단원별로,
① 왜 이 개념을 배워야 하는가? 혹은 실생활에서 어떻게 찾을 수 있는가?
② 이 개념의 가장 대표적인 예는 무엇인가?
③ 이 개념을 일반화하는 방법은 무엇인가?
④ 일반화한 내용을 다시 적용할 수 있는가?

위 네 가지에 대해 학습할 수 있는 개념서로

모든 개념을 학습하는 것이 이해 능력을 키우는 가장 빠른 방법입니다.

3. 추론 능력

추론 능력은 다시 두 가지로 구분됩니다.
발견적 추론 능력과, 연역적 추론 능력입니다.



발견적 추론

발견적 추론 능력이란, 귀납 추론을 의미합니다.
어렸을 적 했던 게임을 떠올려보면, 귀납 추론으로 문제 해결의 실마리를 찾게 됩니다.
수퍼마리오라는 게임 해보셨는지요.
슈퍼마리오를 처음부터 완벽하게 클리어하는 사람은 없습니다.
죽음의 죽음을 거듭하여, 이 스테이지를 클리어하는 방법을 체득합니다.

그것은 귀납적인 연습을 반복하여  "노하우"를 체득한 것입니다.
즉, 귀납 추론은 이렇게 "반복된 시도"를 의미하기도 합니다.

또한,

귀납 추론은 "복잡한 상황을 단순화해서 문제의 핵심 원리를 캐치하는 능력" 으로

정의 할 수 있습니다.
게임을 처음 하는 사람이 처음부터 잘할 수는 없는데, 그런 사람들을 위해 존재하는 것이
"튜토리얼"입니다.
"튜토리얼"의 과정을 거치면, 본인은 게임을 다루는 방식에 대해 어느정도 이해를 할 수 있으며,
게임을 하는 데에 큰 도움을 얻을 수 있습니다.
수학 문제도 마찬가지입니다.

귀납 추론능력을 요구하는 문제가 나오면, 본인이 직접 "튜토리얼" 모드로 문제를 해결해보는 겁니다.

 

다음 문제와 같이, 평가원에서 "직접 튜토리얼"을 제공해주는 경우도 있습니다.

 

 

 

 

하지만 아래문제의 경우  "튜토리얼"이 없는 문제는, 본인이 직접 튜토리얼을 해봐야 합니다.

 

a_1=2라고 친절하게 나와있네요.
n=1을 직접 넣어서, 자연수 k의 개수를 직접 구하세요.
그래도 연습이 모자라다고요?
a_2를 또 구해보세요.

이 문제의 핵심은 나열해서 규칙성찾는게 아니고,
a_1과 a_2를 구하는 과정이 a_n을 구하기 위한 추진력을 얻기 위함이다!!이라는 것을

이해하는 것입니다.

 

다음 문제를 보시죠.

 

만약 예를 들지 않았다면, 문제를 이해하는데에 상당히 어려움을 겪게 됩니다.
하지만, "예를 들어"라는 것을 통해 튜토리얼을 거치고 나면, 문제 해결의 실마리가 보이게 됩니다.

 

 

발견적 추론

연역적 추론이란, "참인 명제는 엄밀하게 증명할 수 있고, 틀린 명제는 반례를 들 수 있거나,

증명할 수 없음을 이해하는 능력"입니다.
각종 합답형 문항들로 연역적 추론 능력을 평가합니다.
합답형 문항 이외에도, 증명문항(구멍난 부분 메우는 문항)이 연역적 추론에 해당합니다.
이러한 문항의 특징은, 증명이라는 것이 무엇인지 이해하는 것입니다.
연역적 추론 능력을 키우기 위해선, 합답형 문항의 특징을 이해하고,

모든 기출문제에 대해
"참인 명제에 대한 완벽한 논증 + 거짓인 명제에 대한 반례의 제시 또는

증거불충분의 제시에 대한 연습"이 필연적으로 선행되어야 합니다.

증명의 구멍난 부분을 매우는 문항도,

 "앞뒤만 보고 풀어야지"와 같이 다소 위험한 방식으로 학습하기보다는,
정공법으로 학습하는 것이 안전합니다. 

평가원 기출문제의 증명 문제들은 모두 수험생들이 "이해할 수 있는 과정"을 거쳐서 증명됩니다.
따라서 증명 과정을 차례차례 읽어나가면서 증명 과정에 대한 이해를 하는 것이 중요합니다.
또한, 문제에 나와 있는 증명을 따라 써보면서 논리 과정을 익혀두는 것이 중요합니다.
(왜냐하면 그러한 논리적 증명 과정은 무수히 반복되어 출제되기 때문입니다 - 역시 도구는 기출문제로)
결과적으로만 보면,

증명 문항의 앞뒤만 봐도 해결할 수 있으나,

그것이 가능하기 위해서는 본인이 직접 증명을 따라가는 연습,
써보는 연습을 통해 증명의 논리 과정을 이미 알고 있는 경우에 시험장에서 "뻔한 논리이므로 비로소

앞뒤만 보고 해결할 수 있는" 힘을 키울 수 있게 됩니다.

 

 

 

4. 문제해결 능력

문제해결력은 또 두가지로 나누는데,

실생활을 소재로 하는 문제의 해결과 수학적 개념이 다양하게 복합되어 있는 문항을 해결 하는 능력을 뜻합니다.

 
실생활을 소재로 하는 문제해결력

이 부분은 기출문제의 반복 학습이 큰 효과를 봅니다. 

실생활을 소재로 하는 문제를 해결하는 가장 빠른 방법은, 문제 해결의 핵심이 되는 요소를
가장 빨리 찝어내는 것입니다. 또한 문제에 대한 "독해"를 잘하는 것입니다.
이러한 문제의 예로, 다양한 확률 문제나 지수로그 실생활 문제 등이 여기에 속합니다.
기출문제를 몇번 풀어보셨다면, 이러한 것들이 어떤 문항을 뜻하는지도 이해하실겁니다.

이 부분이 약하시면 집중적으로 몰아서 문제를 많이 풀면 거의 다 해결이 됩니다.

평가원에서는 이러한 문항을 해결할 때

표를 그리는 풀이 / 그림 그리기 / 기호 그리기 등 다양한 형태로 해결하기를 원합니다.


다음은 대표적인 실생활 소재의 고난도 문항

 

 

다양한 개념이 복합되어 있는 문제 해결력

이러한 영역을 묻는 문항은 수험생들에게 상당한 멘탈 붕괴를 일으킵니다.

보통 킬러문제로 나오는건 아니고, 

난이도로 따지면 두~세번째 정도 되는 킬러 문항으로 주로 출제됩니다.
가장 많이 나오는 방식이

무한등비급수 도형 문제, 함수의 극한에서 중학/고1수학과 연계되거나,

수열의 극한과 지수함수의 결합 등,
보통 시험에서 두번쨰~세번째로 어려웠다고 평하는 부분입니다.
이 부분 역시 기출문제를 통해 학습해야 하는데,

문제에서 요구하는 개념을 모두 완벽하게 이해하는 것이 일차적으로 가장 중요합니다.
이차적으로는 이 문항들도 묻는 것이 동일한 형태 + 복합적인 개념의 구성만

달라지는 형태 이기 때문에,

기출문제에서 최적의 풀이법을 반복해서 연습하는 것이 가장 중요합니다. 
 
다음은 대표적인 개념복합형 고난도 문항

 

 

지금까지 수능 수리영역 문항을 내용 영역과 행동 영역으로 구분해보았습니다. 학습을 할 때는

내용영역의 관점에서

 "수능에서 요구하는 교과서 개념을 모두 익히기",

"문제에서 요구하는 풀이법을 모두 익히기" 에 대한 학습을 해야 하고,

행동영역의 4가지 스탯을 키워서,

수학 문제를 푸는데에 필요한 사고력을 키우는 것을 2차적으로 하셔야 합니다.

일반적으로 수학을 좀 오래전부터 잘했던 학생들은

행동영역의 4가지 스탯이 "이미 발달된" 상황이여서,
내용적인 측면만 학습을 완료하면 곧바로 90점 이상의 고득점이 나옵니다.

하지만 수학 공부를 어렸을 적부터 하지 않아서 "스탯"이 나쁘면,

장비가 아무리 좋더라도 아무런 소용이 없게 됩니다.
따라서 본인이 수학 공부를 좀 뒤늦게 시작했거나, 개념을 확실히 했음에도 불구하고

점수대가 나오지 않는다면

제가 제시한"스탯 키우기"에 초점을 맞추어

수학문제를 풀 수 있는 사고력을 확실히 키우기를 권유하는 바입니다.

 

장문을 글을 읽어주셔서 감사합니다.