[공부] 과목별 공부법

♥ 수학공부법의 7가지 철칙

 

수학을 공부하는 데는 직감력, 이해력, 계산력, 분석력, 구상력 등이 동원된다. 특히 문제를 풀 때는 계산, 분석, 구상력 등이 매우 요구된다. 그런데 이런 능력들은 타고나는 것이기 때문에 수학을 잘 못하는 이유가 조상 탓이라고 생각하는 사람이 많다.

 

비록 선천적인 재능은 떨어지지만 노력에 노력을 거듭해서 일류의 대 수학자가 된 사람이 적지 않다. 하물며 고교수학의 수준이나 내용, 양으로 볼 때, 타고난 수학적인 재능의 유무와 고교수학을 잘 하는 일은 별로 상관관계가 없다고 생각된다.

 

수학을 잘 하고 수학에 취미를 붙이는 방법이 물론 개개인의 개성과 실력, 환경에 따라 다르겠지만 주어진 시간에 가장 능률적인 학습 효과를 얻을 수 있는 방법을 찾아 공부하면 누구든 입시에서 큰 향상을 얻을 수 있을 것이다. 그러므로 위에서 지적한 여러 능력이 잘 조화를 이루는 방법으로 수학공부를 진행한다면 실력은 크게 향상 될 것이다.

 

   

1. 계획을 세워라.

 

학습계획에 실패한 경우를 보면 자신의 성격이나 환경, 체력, 실력 등을 고려하지 않은 계획을 세웠거나 그 계획을 실천하려는 적극적인 마음의 자세가 결여된 경우이다. 그러므로 학습 계획에는 그것을 실천하려는 지속적인 인내와 결심도 중요하지만 또한 자신의 실정에 맞는 실현가능한 계획을 세우는 것이 더욱 중요하다.

 

다른 과목에 비해 수학이 약한 사람은 수학 시간을 조금 더 늘리되 하루의 일과에서 가장 능률이 오르는 시간대에 짠다. 앞으로의 계획은 단기적인 계획(주간 계획)과 중장기적인 계획(월간 계획, 분기별 계획)으로 나누어서 세우되 너무 많은 양을 못 박지 않도록 한다.

 

가급적 양을 적게 하고 초과 달성해 나가는 것이 학습의욕을 향상 시켜준다. 계획을 세우는 일도 중요하지만 세운 계획을 꼬박꼬박 지키는 일이 더욱 중요하다. 성실함이 성공의 필요조건이다.

   

 

2. 기본을 확실히 하라.

 

고난도 문제의 풀이방법에 대한 테크닉에는 열중하면서 기본적인 것은 몸에 정확하게 붙지 않은 학생들이 제법 많다. 위와 같은 학습은 화려하고 멋있게 보여서 잠시 동안은 만족감을 줄 지 모르지만 수학 점수를 향상시키는 데는 거의 도움이 되지 않는다. 오히려 자기 실력으로 소화하지 못한 부담만 가중되는 경우로 된다.

 

기초가 단단하지 않은 것은 쉽게 무너지듯이 수학 공부도 마찬가지이다. 처음부터 자신의 실력으로는 해결하기 어려운 참고서를 보면 결국 모르기 때문에 힌트나 해답을 보고 외우게 된다. 이러한 학습태도는 문제해결능력을 늘리지도 못할 뿐더러 지속적으로 공부할 수도 없게 된다.

 

우선 자기에게 맞는 책을 사용하라. 교과서부터 완전히 마스터해야 한다. 자기가 학습하기에 적당한 참고서는 60~70%를 자기 힘만으로 풀 수 있는 정도면 좋다.

 

수학 학습에서는 생각한다는 것이 중심이지만 기초가 되는 정의, 정리, 공식 등은 암기하되 기계적으로 외우지 말고 그 내용을 충분히 이해하고 (이 과정에서 증명을 이해해야 그 한계까지 알 수 있다.) 정확히 활용할 수 있도록 연습해야 한다.

 

수학을 꽤 잘 하는 경우에도 문제를 푸는 근거가 되는 정의나 정리, 공식이 애매한 학생들을 많이 볼 수 있다. 이들 대부분은 어떤 한계에 부딪혀 탈출구를 찾지 못하고 깊은 고민에 빠져있다.

 

   

3. 의문을 품어라.

 

의문을 가지고 그 의문을 끝까지 연구하자. 이것은 수학을 배울 때의 기본적인 태도이다. 왜 그럴까? 하는 의문을 가졌으면서도 급한 마음에 쉽게 타협하고 넘어가거나, 적당히 지나쳐 버리는 경우가 많다. 이러한 태도가 수학을 향상시키지 못하는 가장 큰 걸림돌이다.

 

서둘러서 바쁘게 많은 문제를 다뤄보는 것처럼 보이지만 그게 그것인 문제만 다람쥐 쳇바퀴 돌듯이 맴돌아서는 효과가 없다. 한 번 못 푼 문제는 다음에도 풀어내기 쉽지 않다. 예전에 답을 보고 이해했었어도 이 후에는 풀지 못하는 경우가 태반이다.

 

수학은 이해했다고 풀어지는 것이 아니다. 실은 제대로 이해하지 못하고 넘어간 것이다. 의문을 가졌으면 그 의문을 해결하도록 연구하여야 한다. 대충대충 답보고 적당히 넘어가서는 절대 향상되지 않는다.

 

만일 자신의 능력으로 안 되면 여기저기 물어보고 토론해 보라. 의문을 품고 그 의문을 하나씩 하나씩 해결해 나감으로써 수학 실력이 한층 향상될 것이다.

   

 

4. 눈으로 먼저 풀이의 설계를 그린 후 손으로 풀어 답을 내라.

 

문제만 보면 곧바로 펜부터 움직이는 학생들이 많은데, 이것은 우리가 목적지를 찾아가기 전에 지도의 도움 없이 그냥 출발부터 하는 것과 유사하다. 펜을 종이에 대기 전에 반드시 머릿속에 대강의 풀이과정을 생각하라.

 

 

5. 자기 힘으로 풀어라.

 

많은 학생이 자기 힘으로 생각해서 풀려고 하지 않고 문제유형과 기계적인 해법을 외우려고 든다. 그러나 그 방법으로는 수학 실력을 올릴 수 없다. 수학 공부의 가장 중요한 점은 자기 머리로 생각하고, 자기 생각으로 해결능력을 단련하는 것이다. 이렇게 하려면 예습 중심의 학습법을 택해야 된다.

 

나는 예습의 정의를 "예습이란 수강하기 전에 강의에 대해 의문을 갖고 임하는 일"로 내린다. 의문을 가지고 강의실에 들어서야 한다. 그렇지 않으면 생각하는 힘을 절대 향상시킬 수 없다. 간단히 풀 수 있는 문제의 경우도 그냥 와서 설명을 듣는 것 보다 자기 힘으로 미리 생각해 본 뒤 강의를 듣는 것이 향상의 지름길이다.

 

어떤 영화를 먼저 본 사람이 곁에서 다음 장면을 자꾸 얘기해주면 그 영화가 재미있던가? 마찬가지로 스스로 풀 수 있는 문제를 궁금증이 없이 힌트나 답을 미리 보면 절대 실력으로 되지 않는다. 시간이 걸리더라도 끈기 있게 이 길로 가야한다.

 

   

6. 여러 가지 풀이방법을 연구하라.

 

수학 문제는 단원별 문제뿐 아니라 연관된 융합문제나 응용문제도 많다. 따라서 문제를 풀 때에는 각 항목의 이해에만 그치지 말고 그들 상호간의 관련성을 생각하여 여러 각도에서 여러 가지 해법을 익혀야 하며 이렇게 함으로써 응용력이 배가되는 것이다.

 

어느 한 가지 풀이방법만 고집하지 말고 여러 가지 다양한 풀이 방법을 연구하라. 문제를 풀고 그 문제를 정리할 때마다 능력을 최대한 발휘하여 다른 풀이가 없는지 연구하고 생각하라.

 

그리고 책의 풀이와 나의 풀이가 다르다면 나의 풀이는 합리적인 것인지, 아니면 우연한 것인지, 또 어느 풀이가 더 합리적인지, 내게 맞는지 따져보라. 이렇게 하나하나에 대하여 생각을 여러 겹으로 쌓을 때, 문제해결력은 일취월장하게 된다.

 

   

7. 매일 조금씩 풀어라.

 

다른 과목도 마찬가지이겠지만 수학 공부를 하는데도 중요한 점은 꾸준히 해야 한다는 것이다. 조금이라도 좋으니 매일 문제를 풀어 보라. 매일 조금씩 푸는 것이 결정적으로 중요하다.

 

작은 물방울이 떨어져 큰 바위를 뚫듯이 아무리 급하고 바빠도 차근차근 해 나가기 바란다. 말처럼 그리 쉬운 일은 아니다.

   

 

수학 점수를 올리는 방법과 태도에 대해 한 말씀 드리겠습니다.처음 수학을 접하게 되면 거기에 나오는 사실을 이해하고 공식을 외우고 공식을 적용하기에 급급한 것이 사실입니다.

그러다 시간이 지나면 대부분 까맣게 잊어버리지요. 거의 다 잊는다고 해도 과언이 아닙니다. 다시 그 내용을 반복해서 보고 익히고 한답니다. 그러는 과정에서 "유형"이라는 것이 자리 잡게 됩니다.

 

- 자기가 아는 유형 - 즉 풀어본 적이 있는 문제

 

시험을 볼 때는 "예전에 풀어본 문제"가 큰 힘으로 작용합니다.

문제를 읽으면서 머리 속에서는 "비슷한 문제로 어떤 것을 풀어 보았던가" 기억하는데 애쓰지요. 물론 이것이 잘못 되었다는 것은 아닙니다.

 

저의 경험에도 문제를 받으면 "이 문제는 내가 공부한 책의 오른쪽 아래에 있던 문제와 비슷 하구나" 할 정도로 기억이 나곤 했으니까요. 그래서 풀어본 그 문제와 시험에 나온 이 문제는 "무엇이 같고 무엇이 다르다"는 식으로 대비해서 판단하곤 했지요.

 

그런데 이런 방법에만 의존해서는 안된다는 것입니다. 그러면 주관적인 추측으로 빠지게 됩니다. 모의고사는 잘 보는데 본 수능시험에는 망쳤다는 재수생이 제법 많습니다.

 

대개 모의 고사때는 75점을 웃돌다가도 막상 본 시험에서는 뚝 떨어진다?

이런 경우는 대개 문제에 집중하기 보다는 자기의 경험에 대한 기억으로 푸는 습관에 있기 때문입니다.

그래서 주어진 문제와는 달리 주관적인 추측으로 문제를 접근하게 되어 출제자가 요구하는 본질을 찾지 못하는 것입니다. 냉정하게 돌아가서 객관적인 예측을 하는 훈련을 해야 합니다.

 

항상 "문제에서 묻는 내용이 무엇인지"를 먼저 파악하구요.

그 내용을 해결하려면 어떤 사실이나 공식이 적용되어야 하는지 머리 속을 뒤지구요.

그런 사실이나 공식, 성질을 적용하려면 어떤 조건이 필요한 지 예측하면서 문제의 이런 저런 조건이 왜 나와 있는지 찾아내는 것입니다.

 

문제를 해결하기 위해 필요한 내용과 문제에 주어진 조건이 연결될 때, 그 희열은 이루 말로 표현할 수 없습니다. 이런 훈련 속에서 문제를 푸는 힘이 향상 되는 것입니다.

 

처음엔 객관적 사실을 하나씩 하나씩 익히고 그들의 연관관계를 파악하고 무장한 뒤 문제 해결력을 향상 시키는 단계로 나아가지만 이것이 반드시 순서대로 진행되는 것은 아닙니다.

 

아무리 실력이 낮다 하더라도 풀이의 기억에만 끌려가는 모습이 아니라 객관적 예측을 전개하면서 주체적으로 문제를 해결하려는 자세를 낮은 수준이든 높은 수준이든 지키려고 해야 합니다.

 

기억하려고 하는 것이 아니라 생각하려고 해야 하는 것입니다. 하면 할수록 무언가 더 있을 것만 같은 생각이 든답니다. 무얼 하고 있을 때에도 "이게 전부가 아니야"라는 생각이 불쑥불쑥 든다고 합니다. 하고 있으면서도 불안한 마음을 감출 수 없다고 합니다.

 

"고교수학의 끝"을 찾아 보십시오. 고교수학의 끝을 찾은 사람은 두렵지 않습니다.

믿음이나 확신이 누구보다도 강합니다. 고교수학의 끝을 찾아 내셔야 합니다.

어떤 사람은 충분히 공부를 했음에도 불구하고 "자기는 아직 고교수학의 끝에 도달하지 못했다"고 생각하고 있습니다.

 

이런 사람은 처음 보는 낯선 문제가 나오면 "맞아 나는 아직 멀었어. 더 했어야 해" 라고 하며 어디에서 무엇을 더 해야 하는지 몰라 절망감에 빠집니다. 자신감은 사라진지 오랩니다.용기를 내서 낯선 문제와 싸워볼 엄두도 내지 못합니다. 기가 이미 꺾였으니까요.

 

그러나 어떤 사람은"이제 나는 끝을 보았으니 이 테두리 안에서 해법을 찾으면 된다. 설령 처음 보는 문제라 하더라도 내가 아는 범위 안에 분명히 길이 있을 것이다. 침착하게 찾아보자."하며 새로운 문제에 즐거이 맞섭니다.

 

물론 그 사람이 매번 그 문제와 싸워 이기는 것은 아닙니다만 낯선 것과 싸우기를 즐겨합니다.

"답은 분명히 존재하며 그 길도 이미 내가 아는 것인데 ....그 길을 찾는데 시간이 걸리는 구나."

믿음과 신념 하나만은 하늘을 찌릅니다. 기세등등 기고만장 .....이런 사람에게는 고교수학이 고개를 숙일 것입니다.

고교수학의 끝은 어디에 있을까? 고교수학 세계의 끝은 바로 "교과서"에 있습니다.